Question

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）
（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（2）若函数y=-x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，其图象为直线，且过（0，-8），（4，0）两点，
把两点坐标代入h′（x）=2ax+b可得，∴a=1，b=-8，∴h′（x）=2x-8
∴h（x）=x²-8x+c，
∴f（x）=6lnx+x²-8x+c
∴f′（x）=+2x-8
∴f'（3）=0，所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0；
（2）由题意，-x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得-x≥6lnx+x²-8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤-x²-6lnx+7x在x∈（0，6]恒成立，
设g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，则c≤g（x）_min，
g′（x）=-2x-+7=-
∵x＞0，∴当x∈（，2）时，∴g'（x）＞0，g（x）为增函数；当x∈（0，）和（2，+∞）时，∴g'（x）＜0，g（x）为减函数
∴g（x）的最小值为g（）和g（6）的较小者．
∵g（）=--6ln+7×=-6ln，g（6）=-36-6ln6+42=6-6ln6，
∴g（3）-g（6）=-6ln+6ln6=+12ln2＞0，
∴g（x）_min=g（6）=6-6ln6．
又已知c＜3，
∴c≤6-6ln6．
分析：（1）根据图象可知导函数过（0，-8），（4，0）两点，进而求出a和b的值，把a和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化简后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切线的斜率；
（2）函数y=-x的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到-x大于等于f（x），列出不等式解出c≤-x²-6lnx+7x恒成立，构造函数g（x）=-x²-6lnx+7x，求出函数的最小值即可得到c的范围．
点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．属于中档题．