【题目】已知常数,函数
.
(1)讨论在区间
上的单调性;
(2)若存在两个极值点
,且
,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析 (2)
【解析】试题分析:(1)首先对函数求导并化简得到导函数
,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分
和
得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.
(2)利用第(1)可得到当时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数
的可行域内,把
关于
的表达式带入
,得到关于
的不等式,然后利用导函数讨论
的取值范围使得
成立.即可解决该问题.
(1)对函数求导可得
,因为
,所以当
时,即
时,
恒成立,则函数
在
单调递增,当
时,
,则函数
在区间
单调递减,在
单调递增的.
(2)解:(1)对函数求导可得
,因为
,所以当
时,即
时,
恒成立,则函数
在
单调递增,当
时,
,则函数
在区间
单调递减,在
单调递增的.
(2)函数的定义域为
,由(1)可得当
时,
,则
,即
,则
为函数
的两个极值点,代入
可得
=
令,令
,由
知: 当
时,
, 当
时,
,
当时,
,对
求导可得
,所以函数
在
上单调递减,则
,即
不符合题意.
当时,
,对
求导可得
,所以函数
在
上单调递减,则
,即
恒成立,
综上的取值范围为
.
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【题目】已知集合,对于
的一个子集
,若存在不大于
的正整数
,使得对
中的任意一对元素
、
,都有
,则称
具有性质
.
(1)当时,试判断集合
和
是否具有性质
?并说明理由;
(2)当时,若集合
具有性质
.
①那么集合是否一定具有性质
?并说明理由;
②求集合中元素个数的最大值.
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【题目】一种室内植物的株高(单位:
)与与一定范围内的温度
(单位:
)有,现收集了该种植物的
组观测数据,得到如图所示的散点图:
现根据散点图利用或
建立
关于
的回归方程,令
,
,得到如下数据:
且与
的相关系数分别为
、
,其中
.
(1)用相关系数说明哪种模型建立关于
的回归方程更合适;
(2)(i)根据(1)的结果及表中数据,求关于
的回归方程;
(ii)已知这种植物的利润(单位:千元)与
、
的关系为
,当
何值时,利润的预报值最大.
附:对于样本,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
,
相关系数,
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,若点
的极坐标为
,直线
经过点
且与曲线
相交于
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
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【题目】甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了”;乙说:“丙申请了”;丙说:“甲和丁都没有申请”;丁说:“乙申请了”,如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______.
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【题目】已知函数,其中
;
(Ⅰ)若函数在
处取得极值,求实数
的值,
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,若关于的不等式
,当
时恒成立,求
的值.
(Ⅲ)令,若关于
的方程
在
内至少有两个解,求出实数
的取值范围.
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