【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在区间
上存在两个不同零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)先求导数,再根据a讨论导函数零点,根据导函数零点情况讨论导函数符号,根据导函数符号确定函数单调性,(2)先分离,再利用导数研究函数
单调性,最后根据图像确定存在两个不同零点的条件,解对应不等式得实数
的取值范围.
试题解析:(1)∵
①若时,
,此时函数在
上单调递增;
②若时,又
得:
时
,此时函数在
上单调递减;
当时
,此时函数在
上单调递增;
(2)由题意知:在区间
上有两个不同实数解,
即函数图像与函数
图像有两个不同的交点,
因为,令
得:
所以当时,
,函数在
上单调递减
当时,
,函数在
上单调递增;
则,而
,且
,
要使函数图像与函数
图像有两个不同的交点,
所以的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之间的距离为100km,海岛A在城市B的正东方50处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西θ角(
,其中锐角
的正切值为
)航行到海岸公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h,车速为75km/h.
(1)试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式;
(2)试确定登陆点P的位置,使所用时间最少,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为,根据(1)中的结果回答下列问题:
①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附:回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据:.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
,且
).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在
上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为
,单调减区间为
.(Ⅱ)当
时,
;当
时,
.
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得
在
上单调递减,在
上单调递增,由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设
,则
.
∵,
,∴
在
上单调递增,
从而得在
上单调递增,又∵
,
∴当时,
,当
时,
,
因此, 的单调增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在
上单调递减,在
上单调递增,
由此可知.
∵,
,
∴.
设,
则
.
∵当时,
,∴
在
上单调递增.
又∵,∴当
时,
;当
时,
.
①当时,
,即
,这时,
;
②当时,
,即
,这时,
.
综上, 在
上的最大值为:当
时,
;
当时,
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线
的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与
轴和
轴的交点分别为
,
为圆
上的任意一点,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知甲盒内有大小相同的个红球和
个黑球,乙盒内有大小相同的
个红球和
个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取
个球.
(1)求取出的个球中恰有
个红球的概率;
(2)设为取出的
个球中红球的个数,求
的分布列和数学期望.
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