【题目】
已知椭圆.过点(m,0)作圆
的切线l交椭圆G于A,B两点.
(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(II)将表示为m的函数,并求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)焦点坐标为,离心率为
(Ⅱ). |AB|的最大值为2
【解析】
试题(1)先由椭圆的标准方程求出值,再利用
求出
值,进而写出焦点坐标和离心率;(2)先讨论两种特殊情况(点
在圆上,即斜率不存在的情况),再设出切线的点斜式方程,利用直线与圆相切得到
与
的关系,再联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系和弦长公式得到关于
的关系式,再利用基本不等式进行求解.
试题解析:(1)由已知得:,所以
.
所以椭圆G的焦点坐标为,
.
离心率为.
(2)由题意知:.
当时,切线
的方程为
,点A,B的坐标分别为
,
,
此时.
当时,同理可得
.
当时,设切线
的方程为
.由
,得
.
设A,B两点的坐标分别为,
,则
,
.
又由与圆
相切,得
,即
.
所以,
由于当时,
,
所以,
.
因为,且当
时,
,
所以的最大值为2.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,若点
的极坐标为
,直线
经过点
且与曲线
相交于
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
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【题目】甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了”;乙说:“丙申请了”;丙说:“甲和丁都没有申请”;丁说:“乙申请了”,如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______.
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【题目】高斯函数是数学中的一个重要函数,在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设,用符号
表示不大于
的最大整数,如
,则
叫做高斯函数.给定函数
,若关于
的方程
有5个解,则实数
的取值范围为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,若椭圆上一点
满足
,过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作
轴的垂线,交椭圆
于
,求证:存在实数
,使得
.
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【题目】设命题对任意实数
,不等式
恒成立;命题
方程
表示焦点在
轴上的双曲线.
(1)若命题为真命题,求实数
的取值范围;
(2)若命题:“”为真命题,且“
”为假命题,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数,其中
;
(Ⅰ)若函数在
处取得极值,求实数
的值,
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,若关于的不等式
,当
时恒成立,求
的值.
(Ⅲ)令,若关于
的方程
在
内至少有两个解,求出实数
的取值范围.
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