Question

4．已知函数f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断函数的单调性求出f（x）的最小值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而判断函数的极值问题．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x²，其定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，当x=1时，f（x）_min=f（1）=1；
故函数f（x）在[1，e]上的最小值是1．
（2）f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，g（x）=2x²-2ax=1，
（ⅰ）当a≤0时，在（0，+∞）上g（x）＞0恒成立，
此时f′（x）＞0，函数f（x）无极值点；
（ⅱ）当a＞0时，若△=4a²-8≤0，即0＜a≤$\sqrt{2}$时，
在（0，+∞）上g（x）≥0恒成立，此时f′（x）≥0，函数f（x）无极值点；
若△=4a²-8＞0，即a＞$\sqrt{2}$时，易知当$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$时，g（x）＜0，此时f′（x）＜0；
当0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，
所以当a＞$\sqrt{2}$时，x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极大值点，x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极小值点，
综上，当a≤$\sqrt{2}$时，函数f（x）无极值点；
a＞$\sqrt{2}$时，x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极大值点，x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极小值点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．