Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点分别F₁、F₂，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F₂作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（　　）

• A、|OB|=e|OA|
• B、|OA|=e|OB|
• C、|OB|=|OA|
• D、|OA|与|OB|关系不确定

Answer 1

分析：根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2a，转化为|AF₁|-|AF₂|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F₁CF₂中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．

解答：解：F₁（-c，0）、F₂（c，0），内切圆与x轴的切点是点A
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）-（c-x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OB=

1

2

CF₁=

1

2

（PF₁-PC）=

1

2

（PF₁-PF₂）=

1

2

×2a=a．
∴|OB|=|OA|．
故选C．

点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用平面几何的性质，如三角形内心的性质等．