Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，）．
（Ⅰ）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）先在方程两边同时乘以得，然后将，进行代换，边可以得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的方程与抛物线方程进行联立，然后利用焦点弦公式并结合韦达定理可以求出
试题解析：解法一：（Ⅰ）由得，，
即曲线的直角坐标方程为．                             3分
（Ⅱ）由直线经过点，得直线的直角坐标方程是，
联立，消去，得，又点是抛物线的焦点，
由抛物线定义，得弦长．                   7分
解法二：（Ⅰ）同解法一．                                         3分
（Ⅱ）由直线经过点，得，直线的参数方程为
将直线的参数方程代入，得，
所以．            7分