Question

已知三棱锥P－ABC是正三棱锥，求证：

(1)它的各个侧面与底面所成的角相等；

(2)正三棱锥底面积与侧面积S之比是各个侧面与底面所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：因三棱锥P－ABC是正三棱锥，故顶点P在底面上的射影O是底面正△ABC的中心，连结AO、BO、CO，并延长分别交对边于D、E、F三点． 　　(1)∵△ABC是正三角形， 　　∴AD⊥BC，OD＝OE＝OF． 　　又∵PO⊥BC，∴BC⊥面PAD．∴BC⊥PD． 　　∴∠PDA就是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角． 　　同理，∠PEB、∠PFC分别是另两个侧面与底面所成二面角的平面角． 　　可证得Rt△PFO≌Rt△PDO≌Rt△PEO， 　　∴∠PEB＝∠PFC＝∠PDA，即结论(1)成立． 　　(2)由∠PEB＝∠PFC＝∠PDA， 　　∴cos∠PEB＝cos∠PFC＝cos∠PDA， 　　即cos∠PEB＝． 　　∴cos∠PEB＝．∴结论(2)成立． 　　解析：(1)本题首先要作出各个侧面与底面所成的二面角．以侧面PBC为例，取BC的中点D，连结PD、AD，则易证BC⊥PD，BC⊥AD．从而∠PDA就是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角．(2)注意侧面△PBC与其在底面上的投影△OBC是底边相等的三角形，且它们的高同在Rt△PDO中，且比例恰为侧面与底面所成角的余弦值，从而易得其面积的比例关系．