Question

设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，若对所有的x∈[-1，1]及任意的m∈[-1，1]都满足f（x）≤t²-2mt+1，则t的取值范围是（　　）

• A．-2≤t≤2
• B．-

  1

  2

  ≤t≤

  1

  2

• C．t≥

  1

  2

  或t≤-

  1

  2

  或t=0
• D．t≥2，或t≤-2，或t=0

Answer 1

分析：根据奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，对所有的x∈[-1，1]及任意的m∈[-1，1]都满足f（x）≤t²-2mt+1，将问题转化为t²-2mt+1≥1在m∈[-1，1]时恒成立，从而求出t的范围；

解答：解：由题意，得f（1）=-f（-1）=1．
又∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴当x∈[-1，1]时，有f（x）≤f（1）=1．
∴t²-2mt+1≥1在m∈[-1，1]时恒成立．
即t²-2mt≥0在m∈[-1，1]上恒成立．
转化为g（m）=-2tm+t²≥0，m∈[-1，1]，∴g（-1）≥0，g（1）≥0，
解得t≥2，或t≤-2或t=0；
故选D；

点评：此题主要考查函数的恒成立问题，解题的过程中用到了分类讨论的思想，是一道中档题；