Question

【题目】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P(,)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为______.最短总路程为______

Answer 1

【答案】

【解析】

求出P(,)关于直线x+2y4=0的对称点P'的坐标，再求出线段OP'与直线x+2y-4=0的交点A,再利用圆的几何性质可得结果.

设P(,)关于直线x+2y4=0的对称点为P'(m,n),

则解得

因为从点P到军营总路程最短,所以A为线段OP'与直线x+2y4=0的交点,

联立得y=(42y),解得y=.

所以“将军饮马”的最短总路程为=，故答案为，.