Question

（选修4-5：不等式选讲）
已知关于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集为R，（1）求实数a的取值范围．（2）证明：若x-1＜0，则a∈R．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值不等式的等价转化形式求解二次不等式即可．
（2）利用x-1＜0，转化不等式即可证明结论．

解答：解：（1）若x-1≥0，则（x-a）²＞（x-1）²对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即（a-1）[（a+1）-2x]＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，（4分）
所以

a-1＞0 a+1＜2x

或

a-1＜0 a+1＞2x

对任意的x∈[1，+∞）恒成立，（8分）
解得a＜1．           （10分）
（2）证明：因为x-1＜0，所以1-x＞0，不等式|x-a|+1-x＞0，转化为：|x-a|≥0，显然a∈R．不等式恒成立．

点评：本题考查绝对值不等式的求法，考查等价转化思想的应用，考查计算能力．