Question

已知 函数f(x)=

2|x-2     x≥a 2|x-10    x＜a

，
（I）当a=1时，求f（x）最小值；
（II）求f（x）的最小值g（a）；
（III）若关于a的函数g（a）在定义域[2，10]上满足g（-2a+9）＜g（a+1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据所给分段函数的解析式，根据基本初等函数的性质和图象的变换看出函数的图象的变换趋势，得到结果．
（II）要求分段函数的最小值，把两端函数进行比较，解不等式写出函数在不同的情况下最小值不同，分段写出．
（III）要解抽象不等式，写出不等式相当于函数的自变量之间的不等关系，写出函数的自变量的取值，就不等式组得到结果．

解答：解：（I）当a=1时，f(x)=

2|x-2   x≥1 2|x-10   x＜1

当x≥1时，函数先减后增，当x＜1时，函数是一个是一个减函数，
∴最小值f（2）=1；
（II）当2^|x-2|＞2^|x-10|时，|x-2|＞|x-10|
∴6＜x＜10，即g（a）=2^|a-10|
当2^|x-2|＜2^|x-10|时，
2≤a≤6，即g（a）=2^|a-2|
当a≤2，a≥10时，g（a）=1
综上可知g（a）=2^|a-10|，6＜x＜10，
g（a）=2^|a-2|   2≤a≤6，
g（a）=1，a≤2，a≥10
（III）∵g（-2a+9）＜g（a+1），
∴2＜-2a+9＜10，①
2＜a+1＜10，②
|a-5|＜|-2a+3|③
∴-

1

2

＜a＜

7

2

1＜a＜9
（3a-8）（a+2）＞0，即a＞

8

3

或a＜-2
总上可知a∈φ

点评：本题考查分段函数的最值和抽象不等式的解法，本题解题的关键是看出分段函数的单调性和所过的特殊点．