Question

已知sint+cost=1，设s=cost+isint，求f（s）=1+s+s²+…sⁿ．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是复数的运算，所要用到的数学思想是分类讨论思想，由sint+cost=1，我们易得：cost=0，sint=1或cost=1，sint=0，然后分类讨论两种情况，最后对各种进行总结，即可得到答案．

解答：解：sint+cost=1
∴（sint+cost）²=1+2sint•cost=1
∴2sint•cost=sin2t=0
则cost=0，sint=1或cost=1，sint=0，
当cost=0，sint=1时，s=cost+isint=i
则f（s）=1+s+s²+…sⁿ=

1+i，n=4k+1 i，n=4k+2 0，n=4k+3 1，n=4(k+1)

(k∈N+)
当cost=1，sint=0时，s=cost+isint=1
则f（s）=1+s+s²+…sⁿ=n+1

点评：本题中第一情况主要考查了复数单位i的运算，要注意：in=

i，n=4k+1 -1，n=4k+2 -i，n=4k+3 1，n=4(k+1)

(k∈N+)