Question

【题目】求所有的正整数，使得是一个完全平方数，且除了2或3以外，没有其他的质因数.

Answer 1

【答案】符合条件的n值有6个，分别为64,108,288,864,1728,10368.

【解析】

设，则

.

依题意，可设

其中，均为非负整数.于是，

.

如果，则，这是不可能的.所以，中至少有一个大于0.于是，x和均为偶数.从而，均为正整数.

若，则.

显然，只可能（否则左右两边被4除的余数不相同），此时，.

显然，只能是，，此时，

，.

若，则是4的倍数.从而，也是4的倍数，故.此时

.①

显然，、中至少有一个应为0（否则式①左右两边奇偶性不相同）.

（1）当，即时，

.②

此时，（否则式②左右两边奇偶性不相同），故.

若，则式②左边是9的倍数，而右边为3，矛盾.故只能.从而，式②即，它只有两组解

和

即和

此时，对应的x值分别为24和96，相应的n值分别为864和10368.

（2）当，即时，

.③

此时，（否则式③左右两边奇偶性不相同），故.

若，则式③左边是9的倍数，而右边是3，矛盾.故.

若，则，只能，此时，，，.

若，则，它只有两组解

和

即和.

此时，对应的x值分别为12和36，相应的n值分别为288和1728.

因此，符合条件的n值有6个，分别为64,108,288,864,1728,10368.