Question

已知凼数F（x）为二次凼数，且F（x）的导凼数为f（x），若存在实数a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）＞0，则不等式F（2x-1）＞F（x）的解集为（　　）

• A、{x|x＜

  1

  3

  }
• B、{x|x＜

  1

  3

  或x＞1}
• C、{x|

  1

  3

  ＜x＜1}
• D、{x|x＜-1或x＞-

  1

  3

  }

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据F（x）的导函数f（x）是一次函数，且a∈（-2，-1）时，f（-a）=-f（a）＞0，
求出F（x）的解析式，再把不等式F（2x-1）＞F（x）转化为普通不等式，求出解集即可．

解答： 解：∵F（x）为二次函数，∴F（x）的导函数f（x）是一次函数；
不妨设f（x）=2kx+b，（k≠0）；
又存在实数a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）＞0，
∴2k（-a）+b=-（2ka+b），
∴b=0；
∴-2ka＞0，
∴ka＜0，
∴k＞0；
∴F（x）=kx²+c，（k＞0）；
∴不等式F（2x-1）＞F（x）可化为
k（2x-1）²+c＞kx²+c，
化简得（2x-1）²＞x²，
即（3x-1）（x-1）＞0，
解得x＜

1

3

或x＞1；
∴该不等式的解集为{x|x＜

1

3

或x＞1}．
故选：B．

点评：本题考查了二次函数的性质与应用的问题，也考查了导数的概念与应用问题，是基础题目．