Question

10．$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）=2．

Answer 1

分析 将要求式子两边乘2（1-$\frac{1}{2}$），运用平方差公式，化简整理，再由数列极限的基本公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=2（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=2（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=2（1-$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=2（1-$\frac{1}{{2}^{8}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=…=2（1-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n+1}}}$），
则$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$2（1-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n+1}}}$）
=2-$\underset{lim}{n→∞}$2•$\frac{1}{{2}^{{2}^{n+1}}}$=2-0=2．
故答案为：2．

点评 本题考查数列极限的求法，注意运用平方差公式，以及常见数列的极限公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．