Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质结合题意证出EO为△PBD的中位线，从而得到EO∥PA，利用线面平行的判定定理，即可证出PA∥平面EBD；
（2）由PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PA⊥CD及AD⊥CD，进而由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，进而由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PDC．

解答 证明：（1））连接AC，与BD交于O，连接EO，因为底面ABCD为正方形，得O是AC的中点，
因为E是PC的中点，所以OE是三角形PAC的中位线，得EO∥PA，
又EO?平面EDB，PA?平面EDB
∴PA∥平面EDB；
（2）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD．                 
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD．    
又PA∩AD=A，AP?面PAD，AD?面PAD，
∴DC⊥平面PAD．     
∵DC?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．

点评 本题在特殊的四棱锥中证明线面平行，平面与平面垂直的判定，解答的关键是证得DC⊥平面PAD，属于中档题