Question

11．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4-8|{x-\frac{3}{2}}|，1≤x≤2\\ \frac{1}{2}f（\frac{x}{2}），\;x＞2.\end{array}$，则函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，2²⁰¹⁵]内的所有零点的和为$\frac{3}{2}$•（2²⁰¹⁵-1）．

Answer 1

分析 函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．

解答 解：当1≤x≤$\frac{3}{2}$时，f（x）=8x-8，
所以g（x）=8（x-$\frac{1}{2}$）2-8，此时当x=$\frac{3}{2}$时，g（x）_max=0；
当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，f（x）=16-8x，所以g（x）=-8（x-1）²+2＜0；
由此可得1≤x≤2时，g（x）_max=0．
下面考虑2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2时，g（x）的最大值的情况．
当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，由函数f（x）的定义知f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=…=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$f（$\frac{x}{{2}^{n-1}}$），
因为1≤$\frac{x}{{2}^{n-1}}$≤$\frac{3}{2}$，
所以g（x）=$\frac{1}{{2}^{2n-5}}$（x-2n-2）2-8，
此时当x=3•2^n-2时，g（x）_max=0；
当3•2^n-2≤x≤2ⁿ时，同理可知，g（x）=-$\frac{1}{{2}^{2n-5}}$（x-2n-1）2+8＜0．
由此可得2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2时，g（x）_max=0．
综上可得：对于一切的n∈N^*，函数g（x）在区间[2^n-1，2ⁿ]上有1个零点，
从而g（x）在区间[1，2ⁿ]上有n个零点，且这些零点为x_n=3•2^n-2，因此，所有这些零点的和为$\frac{3}{2}（{2}^{n}-1）$．
则当n=2015时，所有这些零点的和为$\frac{3}{2}$•（2²⁰¹⁵-1）．
故答案为：$\frac{3}{2}$•（2²⁰¹⁵-1）

点评 本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，综合性较强，难度较大．