Question

1．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于点D，交AC于点E，EF⊥BC于F，BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，则AD长为（　　）

• A． $\frac{{1+\sqrt{21}}}{2}$
• B． $\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{43}{2}$

Answer 1

分析 连接BE，由BC为直径，可得BE⊥EC，设FC=a，可得BF=5a，运用射影定理和勾股定理，可得EF，BE，EC，由勾股定理可得a=$\sqrt{2}$，则EC=2$\sqrt{3}$，再由割线定理，计算即可得到所求AD的长．

解答 解：连接BE，由BC为直径，可得BE⊥EC，
设FC=a，可得BF=5a，
由射影定理可得，EF²=BF•FC，
即有EF=$\sqrt{5a•a}$=$\sqrt{5}$a，
BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{25{a}^{2}+5{a}^{2}}$=$\sqrt{30}$a，
EC=$\sqrt{E{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{5{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{6}$a，
在直角三角形ABE中，AB²=AE²+BE²，
即有8²=2²+30a²，
解得a=$\sqrt{2}$，
则EC=2$\sqrt{3}$，
由圆的割线定理，可得AD•AB=AE•AC，
可得AD=$\frac{AE•AC}{AB}$=$\frac{2×（2+2\sqrt{3}）}{8}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查圆的割线定理、直角三角形的勾股定理和射影定理的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．