Question

6．如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．
（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；
（Ⅱ）若MF=4BF=2，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，由此能证明A、E、F、M四点共圆．
（Ⅱ）连结AC，由A、E、F、M四点共圆，得BF•BM=BE•BA，结合直角三角形的射影定理，可得BC²=BE•BA，由此能求出线段BC的长．

解答 （Ⅰ）证明：如图，连结AM，
由AB为直径可知∠AMB=90°，
又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，
因此A、E、F、M四点共圆．
（Ⅱ）解：连结AC，
由A、E、F、M四点共圆，
所以BF•BM=BE•BA，
在Rt△ABC中，BC²=BE•BA，
又由MF=4BF=2，知BF=$\frac{1}{2}$，BM=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
所以BC²=BF•BM=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$，即BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查四点共圆的证明，注意运用对角互补，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．