Question

14．如图，对于正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，给出下列四个结论：
①直线AC∥平面A₁B₁C₁D₁
②直线AC₁∥直线A₁B
③直线AC⊥平面DD₁B₁B
④直线AC₁⊥直线BD
其中正确结论的序号为①③④．

Answer 1

分析 ①由AC∥A₁C₁，推导出直线AC∥平面A₁B₁C₁D₁；②以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法得直线AC₁与直线A₁B不平行；③推导出AC⊥DD₁，AC⊥BD，从而得到AC⊥平面DD₁B₁B；④由AC⊥BD，BD⊥CC₁，得BD⊥平面ACC₁，从而得到直线AC₁⊥直线BD．

解答 解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
①∵AC∥A₁C₁，AC?平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴直线AC∥平面A₁B₁C₁D₁，故①正确；
②以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则A（2，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，2，2），B（0，2，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，0，-2），$\frac{-2}{-2}≠\frac{0}{2}≠\frac{-2}{2}$，
∴直线AC₁与直线A₁B不平行，故②错误；
③∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DD₁，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面DD₁B₁B，故③正确；
④∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∵CC₁∩AC=C，∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC?平面ACC₁，∴直线AC₁⊥直线BD，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．