Question

19．已知cos（α+$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{1}{3}$，其中0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π．
（1）求tan（2α+β）的值；
（2）求cos（3α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据α、β的取值范围，利用同角的三角函数关系，求出tan（α+$\frac{β}{2}$）的值，再利用二倍角公式计算tan（2α+β）的值；
（2）根据α、β的取值范围，利用同角的三角函数关系和三角恒等变换，求出cos（$\frac{3α}{2}$-$\frac{β}{2}$）的值，再计算cos（3α-β）的值．

解答 解：（1）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{β}{2}$＜π，
又cos（α+$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin（α+$\frac{β}{2}$）=$\sqrt{1{-（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tan（α+$\frac{β}{2}$）=$\frac{sin（α+\frac{β}{2}）}{cos（α+\frac{β}{2}）}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$，
∴tan（2α+β）=$\frac{2tan（α+\frac{β}{2}）}{1{-tan}^{2}（α+\frac{β}{2}）}$=$\frac{2×\sqrt{2}}{1{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=-2$\sqrt{2}$；
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴0＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{π}{4}$，
又$\frac{π}{2}$＜β＜π，∴-π＜-β＜-$\frac{π}{2}$，
∴-π＜$\frac{α}{2}$-β＜-$\frac{π}{4}$；
又cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（$\frac{α}{2}$-β）=-$\sqrt{1{-（\frac{1}{3}）}^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（$\frac{3α}{2}$-$\frac{β}{2}$）=cos[（α+$\frac{β}{2}$）+（$\frac{α}{2}$-β）]
=cos（α+$\frac{β}{2}$）cos（$\frac{α}{2}$-β）-sin（α+$\frac{β}{2}$）sin（$\frac{α}{2}$-β）
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$×（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
∴cos（3α-β）=2${cos}^{2}（\frac{3α}{2}-\frac{β}{2}）$-1=2×${（\frac{5\sqrt{3}}{9}）}^{2}$-1=$\frac{23}{27}$．

点评 本题考查了同角的三角函数关系与三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．