Question

4．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数．
（1）若f（x）＞xlnx在（0，+∞）内恒成立，求a的取值范围．
（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=ex+m，当x∈（t，t+2）时，其中，-2＜t＜0，讨论函数g（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{f′（x）}$的单调性．

Answer 1

分析 （1）问题转化为a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$，当x＞0时恒成立，这是一个不等式恒成立问题，所以构造函数，然后将问题转化为函数的最值问题来解；
（2）求出f（x）的导数，得到a=0，求出f′（x），求出g（x）的导数，通过讨论t的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）由题意f（x）＞xlnx，（x＞0）可化为：
a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$，当x＞0时恒成立．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$，
则g′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故函数g（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，
g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a＜e-1，
故a的范围是（-∞，e-1）；
（2）f′（x）=e^x-a，f′（1）=e-a，
若f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=ex+m，
故f′（1）=e-a=e，解得：a=0，
∴f（x）=e^x-1，f′（x）=e^x，
∴g（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{f′（x）}$=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，
g′（x）=-$\frac{x（x+1）}{{e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：-1＜x＜0，令g′（x）＜0，解得：x＞0或x＜-1，
-2＜t＜-1时，g（x）在（t，-1）递减，在（-1，0）递增，在（0，t+2）递减，
-1≤t＜0时，g（x）在（t，0）递增，在（0，t+2）递减．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．