Question

13．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，点E是A₁D₁的中点，点F是CE的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连AC交BD于G，连FG，推导出AE∥FG，由此能证明AE∥平面BDF．
（Ⅱ）分别以DC、DA、DD₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连AC交BD于G，连FG．
∵ABCD是正方形，∴G是AC中点．
∵F是CE是中点，∴AE∥FG．
∵AE?平面BDF，FG?平面BDF，∴AE∥平面BDF．…（6分）
（Ⅱ）解：分别以DC、DA、DD₁所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（0，2，0），B（2，2，0），D₁（0，0，2），
A₁（0，2，2），E（0，1，2），C（2，0，0），
∴$\overrightarrow{DE}$=（0，1，2），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
设平面BDE的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取z=-1，得$\overrightarrow{m}=（-2，2，-1）$，
设平面CDE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=b+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2a=0}\end{array}\right.$，取c=-1，得$\overrightarrow{n}=（0，2，-1）$，
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴二面角B-DE-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．