Question

1．已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求证：lnx＞$\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，x∈（0，+∞）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）问题转化为：$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，令$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1+lnx，令f′（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$，
当$0＜x＜\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减；
当$x＞\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增．
所以函数f（x）的最小值为$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．即$f（x）≥-\frac{1}{e}，x∈（0，+∞）$…（6分）
（Ⅱ）将不等式化为：$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，
令$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，则g′（x）=e^-x（1-x），令g′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减；
所以，函数当x∈（0，+∞）时，$g（x）≤g（1）=-\frac{1}{e}$…（10分）
由（Ⅰ）可知函数f（x）与g（x）取得最值时对于的x的值不同，
故x∈（0，+∞）时，f（x）＞g（x），即$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}，x∈（0，+∞）$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．