Question

10．已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（2）当a=1时，g（x）=x²-2x+b，当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）与g（x）有两个交点，求实数b的取值范围；
（3）证明：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{3^2}+\frac{5}{4^2}+…+\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（?n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为∴a≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，求出a的范围即可；
（2）问题等价于lnx-x²+x=x²-2x+b在[$\frac{1}{2}$，2]上有两个根，得到b=lnx-2x²+3x，令T（x）=lnx-2x²+3x，根据函数的单调性求出b的范围即可；
（3）根据lnx＜x²-x在（1，+∞）上恒成立，令x=$\frac{n+1}{n}$＞1，（n∈N^*），得到ln（n+1）-lnn＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，对n取值，累加即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴f′（x）=-$\frac{（2x+1）（ax-1）}{x}$≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，
∵${（\frac{1}{x}）}_{max}$=1，∴a≥1；
（2）当a=1时，f（x）=lnx-x²+x，
∵f（x）与g（x）有两个交点
∴lnx-x²+x=x²-2x+b在[$\frac{1}{2}$，2]上有两个根，
∴b=lnx-2x²+3x，
∴令T（x）=lnx-2x²+3x，
∴T′（x）=-$\frac{（4x+1）（x-1）}{x}$，
∴T′（x）＞0时，$\frac{1}{2}$＜x＜1，∴T（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递增，
∴T′（x）＜0时，1＜x＜2，∴T（x）在（1，2）上单调递减，
∴x=1处有极大值也是最大值，f（1）=1，
f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2＞0，f（2）=ln2-2＜0，
∴1-ln2≤b＜1；
（3）证明：由（1）知当a=1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴f′（x）≤f（1）=0当且仅当x=1时，等号成立，
即lnx＜x²-x在（1，+∞）上恒成立，
令x=$\frac{n+1}{n}$＞1，（n∈N^*），
∴ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
∴ln（n+1）-lnn＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
n=1时，ln2-ln1＜$\frac{2}{{1}^{2}}$，
n=2时，ln3-ln2＜$\frac{3}{{2}^{2}}$，
n=3时，ln4-ln3＜$\frac{4}{{3}^{2}}$
…
n=n时，ln（n+1）-lnn＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
累加可得：ln（n+1）＜$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{3^2}+\frac{5}{4^2}+…+\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（?n∈N^*）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．