Question

5．如图，AB是⊙O的一条弦，延长AB到点C，使得AB=BC，过点B作BD⊥AC且DB=AB，连接AD与⊙O交于点E，连接CE与⊙O交于点F．
（Ⅰ）求证：D，F，B，C四点共圆；
（Ⅱ）若AB=$\sqrt{6}$，DF=$\sqrt{3}$，求BE²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由割线定理得CA•CB=CF•CE，再由图中的等量关系，得CA•CB=2CB²=DC²=CF•CE，再通证明△CDE和△CFD相似，从而得出∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE，再由BD⊥AC，即可得证；
（Ⅱ）在等腰Rt△CDB中，CD=2$\sqrt{2}$，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，在Rt△CDE中，求出CE=4，最后在△BCE中，利用余弦定理求出BE²的值．

解答 （1）证明：如图所示，
∵CA与⊙O交于点B，CE与⊙O交于点F，
∴由割线定理，得CA•CB=CF•CE，
∵AB=BC=DB，DB⊥AC，
∴DA=DC=$\sqrt{2}$CB，∠CDB=∠ADB=45°，
∴△CDA是等腰直角三角形，即∠CDA=90°，
∴CA•CB=2CB²=DC²=CF•CE，即$\frac{DC}{CF}$=$\frac{CE}{DC}$，
又∵∠DCE=∠DCF，∴△CDE∽△CFD，
∴∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE．
又DB⊥AC，
可得D，F，B，C四点共圆；
（2）解：在等腰Rt△CDB中，AB=BC=DB=$\sqrt{6}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$．
在Rt△DFC中，DF=$\sqrt{3}$，∴sin∠DCF=$\frac{1}{2}$，∴∠DCF=30°，
∴在Rt△CDE中，CE=4，
∵∠ECB=∠DCB-∠DCE=15°
∴cos∠ECB=cos15°=cos（45°-30°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴在△BCE中，BE²=BC²+CE²-2BC•CE•cos∠BCE=10-4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查圆中的垂直关系、割线定理、三角形相似、勾股定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．