Question

9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）求直线l与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l的距离最短．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ．把ρ²=x²+y²，代入可得C的直角坐标方程．由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程．
（Ⅱ）由曲线C：x²+（y-1）²=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，点D在曲线C上，可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），利用点到直线的距离公式即可得出点D到直线l的距离d及其最小值．

解答 解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ．
∴曲线C的普通方程为x²+y²-2y=0，配方为x²+（y-1）²=1，
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），
消去t得直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x+y-5=0．
（Ⅱ）∵曲线C：x²+（y-1）²=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，
∵点D在曲线C上，∴可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），
∴点D到直线l的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}cosφ+sinφ-4|}{2}$=2-sin（φ+$\frac{π}{3}$），
∵φ∈[0，2π），当φ=$\frac{π}{6}$时，d_min=1，
此时D点的坐标为$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．