Question

20．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α≠0）经过椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）的左焦点F．
（1）求实数m的值；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|×|FB|取最小值时，直线l的倾斜角α．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，可得左焦点F（-c，0），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α≠0）化为普通方程：y=（x-m）tanα，经过定点（m，0），可得m．
（2）将直线的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α≠0）代入椭圆C的普通方程中整理得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，利用根与系数的关系及其|FA|×|FB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（1）椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，可得左焦点F（-1，0），
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α≠0）化为普通方程：y=（x-m）tanα，
经过定点（m，0），因此m=-1．
（2）将直线的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α≠0）
代入椭圆C的普通方程中整理得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
则|FA|×|FB|=|t₁t₂|=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值$\frac{9}{4}$，
∵α∈（0，π），∴$α=\frac{π}{2}$．
∴|FA|•|FB|取最小值时，直线l的倾斜角α=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线经过定点问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．