Question

12．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，FG分别是BC，PC，PB的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）设平面PAB∩平面PCD=1，求证：CD∥1；
（3）设H为棱PD上的动点，若EH与平面PAD所成的最大角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求二面角A-EF-G的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只要能证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由此能证明AE⊥PD．
（2）推导出CD∥平面PAB，由平面PAB∩平面PCD=1，能证明CD∥1．
（3）AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EF-G的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（2）∵AB∥CD，AB?平面PAB，CD?平面PAB，
∴CD∥平面PAB，
∵平面PAB∩平面PCD=1，∴CD∥1．
解：（3）如图所示，设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH、EH，由（1）知，AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=$\sqrt{3}$，
∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．
此时，tan∠EHA=$\frac{AE}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AH=$\sqrt{2}$，又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．
由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（$\sqrt{3}$，0，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）.$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{EG}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}，1$），
设平面AEF的一法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取z=-1，则$\overrightarrow{m}$=（0，2，-1），

设平面EFG的一法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b+c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=-\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{1}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{3}$），
设二面角A-EF-G的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

∴二面角A-EF-G的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本小题主要考查直线与平面的位置关系、线线的位置关系、异面直线所成角及其几何体的体积等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．