Question

7．如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．
（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，推导出PD⊥AF，CD⊥AF．由此能证明AF⊥平面PCD．
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD∥平面PEC．
（3）求出平面PCD的法向量和平面PEC的法向量，利用向量法能求出二面角E-PC-D的大小．

解答 证明：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA=2EB=4．
∵PA=AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF．
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF．
∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD．
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，0，0），D（4，4，0），C（4，0，0），E（0，0，2），P（0，4，4），
$\overrightarrow{BD}$=（4，4，0），$\overrightarrow{EC}$=（4，0，-2），$\overrightarrow{EP}$=（0，4，2），
设平面PEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=4x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=4y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∵$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}$=4-4+0=0，BD?平面PEC，
∴BD∥平面PEC．
（3）$\overrightarrow{CP}$=（-4，4，4），$\overrightarrow{CD}$=（0，4，0），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=-4a+4b+4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=4b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
设二面角E-PC-D的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=30°，
∴二面角E-PC-D的大小为30°．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．