Question

2．已知函数f（x）=ke^x-x²，（其中k∈R，e是自然对数的底数），
（Ⅰ）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，
（i）求k的取值范围；
（ii）证明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，从而求出f（x）的单调区间，可比较f（x）与2的大小；
（Ⅱ）（i）先求导数f′（x），由题意知x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，令φ（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，利用导数得到函数φ（x）的单调区间，继而得到k的取值范围；
（ii）知，f′（x₁）=0，则得k=$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$，又由f（x₁）=-（x₁-1）²+1，x₁∈（0，1），即可得到0＜f（x₁）＜1．

解答 解：（Ⅰ）若k=2，f（x）=2e^x-x²，则f'（x）=2e^x-2x，
令g（x）=2e^x-2x，g′（x）=2e^x-2＞0，
∴g（x）=2e^x-2x在区间（0，+∞）上是单调递增函数，
∴g（x）＞g（0）=2＞0
∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）=2e^x-2x＞0，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递增函数，
∴f（x）=2e^x-x²＞f（0）=2；
（Ⅱ）（i）函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是f′（x）=ke^x-2x=0的两个根，
即方程k=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有两个根，设φ（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，则φ′（x）=$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$，
当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；
当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．
要使k=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有两个根，只需0＜k＜φ（1）=$\frac{2}{e}$，
故实数k的取值范围是（0，$\frac{2}{e}$）；
（ii）证明：由（i）可知，函数f（x）的两个极值点x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′（x₁）=$k{e}^{{x}_{1}}$--2x₁=0，得k=$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$，
所以f（x₁）=$k{e}^{{x}_{1}}$--x₁²=x₁（2-x₁）=-（x₁-1）²+1，
由于x₁∈（0，1），故0＜-（x₁-1）²+1＜1，
所以0＜f（x₁）＜1．

点评 本题考查了利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．