Question

15．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，}{x＞0}\end{array}\\ \begin{array}{l}{x{，_{\;}}}{\;}{x＜0}\end{array}\end{array}$，若关于x的方程[f（x）]²-（a+3）f（x）+a=0恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（-2，0）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用换元法转化为一元二次方程和一元二次函数，利用根的分布建立不等式进行求解即可．

解答 解：当x＞0时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取等号，
设t=f（x）
作出函数f（x）的图象如图：
则方程[f（x）]²-（a+3）f（x）+a=0等价为t²-（a+3）t+a=0，
若[f（x）]²-（a+3）f（x）+a=0恰有3个不同的实根，
则等价为t²-（a+3）t+a=0，有两个不同的根，
①t₁=2或t₂＞2，
当t₁=2时，4-2（a+3）+a=0，得a=-2，此时t₁+t₂=a+3=1，则t₂=1-t₁=1-2=-1＞2不成立，
②t₁＜0或t₂＞2，
设h（t）=t²-（a+3）t+a，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＜0}\\{h（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-a-2＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，
即-2＜a＜0，
故答案为：（-2，0）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法将方程转换一元二次函数，利用数形结合是解决本题的关键．