Question

5．在平面直角坐标系xOy中，圆C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），M是圆C₁上得动点，MN⊥x轴，垂足为N，P是线段MN的中点，点P的轨迹为曲线C₂．
（1）求C₂的参数方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=$\frac{π}{6}$与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求△C₁AB的面积．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则M（x，2y），由点M在C₁上，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{2y=2+2sinα}\end{array}\right.$，化简即可得出C₂的参数方程．
（2）圆C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为普通方程，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为普通方程，同理可得极坐标方程．射线$θ=\frac{π}{6}$与C₁的交点A的极径ρ₁=$4sin\frac{π}{6}$．射线$θ=\frac{π}{6}$与C₂的交点B的极径ρ₂=$\frac{8sin\frac{π}{6}}{1+3si{n}^{2}\frac{π}{6}}$，可得|AB|=|ρ₁-ρ₂|，又C₁到BA的距离d=$2sin\frac{π}{3}$．即可得出${S}_{△{C}_{1}AB}$=$\frac{1}{2}$|BA|•d．

解答 解：（1）设P（x，y），则M（x，2y），∵点M在C₁上，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{2y=2+2sinα}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=a+sinα}\end{array}\right.$．
∴C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（2）圆C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为普通方程：x²+（y-2）²=4，展开为：x²+y²-4y=0．可得极坐标方程为：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+（y-1）²=1，展开为：x²+4y²-8y+3=0，
可得极坐标方程：ρ²（1+3sin²θ）-8ρsinθ=0．即ρ（1+3sin²θ）=8sinθ．
射线$θ=\frac{π}{6}$与C₁的交点A的极径ρ₁=$4sin\frac{π}{6}$=2．
射线$θ=\frac{π}{6}$与C₂的交点B的极径ρ₂=$\frac{8sin\frac{π}{6}}{1+3si{n}^{2}\frac{π}{6}}$=$\frac{16}{7}$．
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=$\frac{2}{7}$，又C₁到BA的距离d=$2sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{C}_{1}AB}$=$\frac{1}{2}$|BA|•d=$\frac{1}{2}×\frac{2}{7}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、直线与曲线的交点、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．