Question

20．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x²-x-1|，则函数y=f（x）-1在区间[-2，4]上的零点个数为7．

Answer 1

分析 如图所示，y=g（x）=f（x）-1=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}，0≤x≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}，\frac{1+\sqrt{5}}{2}＜x＜2}\end{array}\right.$，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．

解答 解：如图所示，y=g（x）=f（x）-1=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}，0≤x≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}，\frac{1+\sqrt{5}}{2}＜x＜2}\end{array}\right.$，
再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．
由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x∈[-2，0）上的图象．
x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，
x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．
x∈[-2，0）时，g（-2）=g（2）=0，g（-1）=g（1）=0．
指数可得：函数g（x）共有7个零点．
故答案为：7．

点评 本题考查了函数的奇偶性与周期性、绝对值函数的图象、二次函数的图象与性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．