Question

14．不定方程x+y+z=12的非负整数解的个数为91．

Answer 1

分析 法1：利用已知条件方程x+y+z=12的非负整数解，得出x，y，z的取值范围，列出所有的可能即可．
法2：利用插板法分成三组，利用组合进行求解．

解答 解：根据已知条件
∵x+y+z=12，且x、y、z∈N，
∴0≤x≤12，0≤y≤12，0≤z≤12，当x，y确定后z值也确定，其中z=12-x-y
列出所有的可能：
当x=0时，y+z=12，则y可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共13种情况；
当x=1时，y+z=11，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12种情况；
当x=2时，y+z=10，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共，11种情况；
当x=3时，y+z=9，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共，10种情况；
当x=4时，y+z=8，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9种情况；
当x=5时，y+z=7，y可以，0，1，2，3，4，5，6，7，共8种情况；
当x=6时，y+z=6，y可以，0，1，2，3，4，5，6，共7种情况；
当x=7时，y+z=5，y可以，0，1，2，3，4，5，共6种情况；
当x=8时，y+z=4，y可以，0，1，2，3，4共5种情况；
当x=9时，y+z=3，y可以，0，1，2，3，共4种情况；
当x=10时，y+z=2，y可以，0，1，2，共3种情况；
当x=11时，y+z=1，y可以，0，1，共2种情况；
当x=12时，y+z=0，y可以，0，共1种情况；
所以共有13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=91组．
方法2：插板法，将12看成12个1，12个1中间有14个空，从14个空中选两个进行插板，
插板之间1的个数即为该数对应的数值，
则共有C${\;}_{14}^{2}$=$\frac{14×13}{2}$=91，
△1△1△1△1△1△1△1△1△1△1△1△1△，
比如隔板插个如图所示△1△1△1↑1△1△1↑1△1△1△1△1△1△，
此时第一组x=3，第二组y=3，第三组z=6
故答案为：91．

点评 本题主要考查三元一次方程根的个数的求解，利用列举法或插板法分成三组是解决本题的关键．其中使用插板法比较简单．