Question

10．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C：ρ=1，
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）点P（1，2）为直线l上一点，设曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲线C′，若直线l与曲线C′相交于A，B两点，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得直角坐标方程．由曲线C：ρ=1，利用ρ²=x²+y²可得直角坐标方程．
（2）由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C可得曲线C′：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}$+（y′）²=1．把直线l的参数方程代入可得：13t²+$（32\sqrt{3}+4）$x+42=0，利用根与系数的关系可得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：$\sqrt{3}$x-y+2-$\sqrt{3}$=0，
由曲线C：ρ=1，可得直角坐标方程：x²+y²=1．
（2）由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C可得曲线C′：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}$+（y′）²=1．
故曲线C′的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
把直线l的参数方程代入可得：13t²+$（32\sqrt{3}+4）$x+42=0，∴t₁+t₂=-$\frac{32\sqrt{3}+4}{13}$，t₁t₂=4．
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{8\sqrt{3}+1}{13}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系、坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．