Question

18．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（1）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞-1，且当x∈（-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对x分类讨论，去掉绝对值符号解出即可得出．
（2）当x∈（-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）时，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3，化简利用a的取值范围、函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）a=-2时，f（x）=|2x-1|+|2x-2|，
不等式f（x）＜g（x），
即|2x-1|+2|x-1|-x-3＜0，
x≥1时，2x-1+2x-2-x-3＜0，解得：1≤x＜2，
$\frac{1}{2}$＜x＜1时，2x-1-2x+2-x-3＜0，解得：x＞-2，成立，
x≤$\frac{1}{2}$时，1-2x+2-2x-x-3＜0，解得：x＞0，
综上，不等式的解集是：（0，2）．
（2）当x∈（-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）时，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3，
∴x≥a-2对x∈（-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）都成立，故-$\frac{a}{2}$≥a-2，即a≤$\frac{4}{3}$，又由已知a＞-1，
∴a的取值范围为（-1，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．