Question

6．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax．
（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）若a＞0，求函数y=f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值，检验即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-a，
∵x=1是函数f（x）的极值点，
∴f′（1）=1-a=0，解得：a=1，
经检验符合题意，
∴a=1；
（2）由f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax，得：f′（x）=x²-a，
当0＜a＜1时，令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{a}$，
列表如下：

x	0	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	0	↘	-$\frac{2a}{3}$$\sqrt{a}$	↗	$\frac{1}{3}$-a

由表可知，当x=$\sqrt{a}$时，f（x）取得最小值为：-$\frac{2a}{3}$$\sqrt{a}$，
当a≥1时，f′（x）≤0在[0，1]恒成立，f（x）在[0，1]上是减函数，
故当x=1时，f（x）取得最小值为$\frac{1}{3}$-a，
综上所述：f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}{3}\sqrt{a}，（0＜a＜1）}\\{\frac{1}{3}-a，a≥1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．