Question

18．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在$\widehat{AB}$上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE⊥平面PCB；
（2）求二面角M-PB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出OM∥平面PAC，平面MOE∥平面PAC，BC⊥AC，PA⊥BC，BC⊥平面PAC，由此能证明平面MOE⊥平面PCB．
（2）以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，二面角M-PB-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
∴OE∥PA，
∵PA?平面PAC，OE?平面PAC，∴OE∥平面PAC，
∴OE∥平面PAC，
∵OM∥AC，又AC?平面PAC，OM?平面PAC，
∴OM∥平面PAC，
∵OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM=O，
∵平面MOE∥平面PAC，
∵点C 在以AB为直线的⊙O上，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面 PBC，∴平面PAC⊥平面PBC，
∴平面MOE⊥平面PCB．
解：（2）如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵∠CBA=30°，PA=AB=2，∴CB=2cos30°=$\sqrt{3}$，AC=1，
延长MO，交CB于点D，
∵OM∥AC，∴MD⊥CB，MD=1+$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，CD=$\frac{1}{2}CB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴P（1，0，2），C（0，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），M（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），
∴$\overrightarrow{CP}$=（1，0，2），$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
设平面PCB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
同理，得平面PMB的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{5}$，
∴二面角M-PB-C的平面角的余弦值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．