Question

7．已知函数f（x）=3ln²x-2x，它的两个极值点为x₁，x₂（x₁＜x₂），给出以下结论：
①1＜x₁＜3＜x₂；②1＜x₁＜x₂＜3；③f（x₁）＞-3；④f（x₁）＜-$\frac{5}{3}$
则上述结论中所有正确的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ②③④
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 依题意，f′（x）=0在（0，+∞）上有二异根，作出f′（x）=$\frac{6lnx}{x}$-2的图象，对①②③④四个选项逐一分析即可确定答案．

解答 解：∵f（x）=3ln²x-2x，∴f′（x）=$\frac{6lnx}{x}$-2，
∵f（x）=3ln²x-2x有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有二异根，
作出f′（x）=$\frac{6lnx}{x}$-2的图象，如图所示，则
①1＜x₁＜3＜x₂成立；
②1＜x₁＜x₂＜3，不成立；
f′（x₁）=0，∴6lnx₁=2x₁，∴lnx₁=$\frac{1}{3}$x₁，
∴f（x₁）=$\frac{1}{3}$x₁²-2x₁=$\frac{1}{3}$（x₁-3）²-3，
∵1＜x₁＜2
∴-3＜f（x₁）＜-$\frac{8}{3}$＜-$\frac{5}{3}$，
∴③④成立．
故选：D．

点评 本题考查导数的综合应用，着重考查数形结合思想与等价转化思想、抽象思维与逻辑思维的综合应用，属于难题．