Question

3．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若存在x₀∈[-7，7]，使得f（x₀）+$\frac{1}{2}$m²＜4m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，化简函数的解析式，然后列出不等式求解即可．
（2）求出函数的值域，转化不等式，得到二次不等式，求解即可．

解答 解：（1）由f（x）=|2x+1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x≤-\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}＜x＜4}\\{x+5，x≥4}\end{array}\right.$
f（x）≥0，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-x-5≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜4}\\{3x-3≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥4}\\{x+5≥0}\end{array}\right.$…（2分）
解得：{x|x≤-5或x≥1}；…（5分）
（2）当x₀∈[-7，7]，时，f（x₀）∈[-$\frac{9}{2}$，12]，…（7分）
由题意f（x₀）+$\frac{1}{2}$m²＜4m知，-$\frac{9}{2}$＜4m-$\frac{1}{2}$m²，即m²-8m-9＜0，
解得：-1＜m＜9…（10分）

点评 本题考查绝对值函数的应用，函数恒成立以及转化思想的应用，考查计算能力．