Question

13．如图．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，且PA=2，AD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，点M在PD上．
（I）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）若二面角M-AC-D的大小为$\frac{π}{4}$，求BM与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥AC，AB⊥PA，由此能证明AB⊥PC．
（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BM与平面PAC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）到BC中点E，连结AE，
∵PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，且PA=2，AD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AB?平面ABCD，∴AB⊥PA，
∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴AB⊥PC．
解：（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），D（0，2$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2），
设M（a，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，即（a，b，c-2）=λ（0，2$\sqrt{2}$，-2）=（0，2$\sqrt{2}λ$，-2λ），
∴a=0，b=2$\sqrt{2}λ$，c=2-2λ，即M（0，2$\sqrt{2}λ$，2-2λ），
$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，2$\sqrt{2}λ$，2-2λ），
设平面ACM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=2\sqrt{2}λy+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{2}λ}{1-λ}$），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角M-AC-D的大小为$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}λ}{1-λ}}{\sqrt{2+（\frac{\sqrt{2}λ}{1-λ}）^{2}}}$，解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴M（0，$\sqrt{2}$，1），B（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BM}$=（-2$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$，1），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AP}=2{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{2}{x}_{1}+2\sqrt{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，-1，0），
设BM与平面PAC所成角为β，
则sinβ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{27}•\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
∴BM与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．