Question

18．已知在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BCD=60°，侧面SAB是正三角形，且面SAB⊥面ABCD，F为SD的中点．
（1）证明：SB∥面ACF；
（2）求面SBC与面SAD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O，连接OF，推导出FO∥SB，由此能证明SB∥面ACF．
（2）取AB中点M，连接MD，分别以MB、MD、MS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）连接BD交AC于O，连接OF，
因为ABCD为菱形，所以OB=OD，
又F为SD的中点，所以FO∥SB，
因为FO?平面ACF，SB?面ACF，
所以SB∥面ACF．（4分）
（2取AB中点M，连接MD，分别以MB、MD、MS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AB=a，则B（$\frac{a}{2}$，0，0），C（a，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），A（-$\frac{a}{2}$，0，0），D（0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），S（0，0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），（6分）
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），$\overrightarrow{BS}$=（-$\frac{a}{2}，0，\frac{\sqrt{3}a}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}，0$），$\overrightarrow{AS}$=（$\frac{a}{2}，0，\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
设面SBC的法向量$\overrightarrow v=（{x^'}，{y^'}，{z^'}）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}{x}^{'}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{y}^{'}=0}\\{-\frac{a}{2}{x}^{'}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{z}^{'}=0}\end{array}\right.$，
令x′=1，则$\overrightarrow v=（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．
设面SAD的法向量为$\overrightarrow u=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}ay=0}\\{\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow u=（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．
则cos＜$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}$＞=$\frac{1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}×\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{3}{5}$，
所以锐二面角的余弦值为$\frac{3}{5}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．