Question

10．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程；
（2）若对?x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导数，计算f′（1），从而求出切线方程即可；
（2）分离参数，转化为函数的最值问题求解．

解答 解：（1）∵f′（x）=1+lnx，
∴f′（1）=1=k，
故切线方程是：y=x-1；
（2）由题意，不等式化为ax≤2xlnx+x²+3，因为x＞0，
所以a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，当x＞0时恒成立．
令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，则h′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，x＞1时，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
故h（x）_min=h（1）=2ln1+1+3=4．所以a≤4．
故所求a的范围是（-∞，4]．

点评 本题主要考查了不等式恒成立问题的解题思路，一般此类问题转化为函数的最值问题来解．