Question

19．若$\overrightarrow{a}$=（3，5cosx），$\overrightarrow{b}$=（2sinx，cosx），则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的范围是[-6，$\frac{34}{5}$]．

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的坐标运算法则，利用三角函数的性质，即可求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（3，5cosx），$\overrightarrow{b}$=（2sinx，cosx），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3×2sinx+5cosx×cosx
=6sinx+5（1-sin²x）
=-5${（sinx-\frac{3}{5}）}^{2}$+$\frac{34}{5}$；
当sinx=$\frac{3}{5}$时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$取得最大值$\frac{34}{5}$，
当sinx=-1时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$取得最小值-6，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的范围是[-6，$\frac{34}{5}$]．
故答案为：[-6，$\frac{34}{5}$]．

点评 本题考查了平面向量数量积的坐标运算与正弦函数的有界性问题，是基础题目．