Question

2．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-8x-1（a＜0）．若曲线y=f（x）的切线斜率的最小值是-9．求：
（1）a的值；
（2）函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）先求出导函数的最小值，利用曲线y=f（x）的切线斜率的最小值是-9，求出a的值即可；
（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，确定函数的单调区间可得函数f（x）的极大值和极小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-8x-1，
∴f′（x）=x²+2ax-8．
∴当x=-a时，f′（x）有最小值-a²-8
由已知：-a²-8=-9，∴a²=1
∵a＜0，∴a=-1；
（2）由（1）f′（x）=x²-2x-8
令f′（x）=0得x=-2或4
当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

∴当x=-2时，f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=$\frac{25}{3}$；
当x=4时，f（x）取得极小值，极小值为f（4）=-$\frac{83}{3}$．

点评 本小题主要考查导数的几何意义、极值，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于中档题．