Question

6．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=2，tanβ=$\frac{1}{2}$
（1）求tan2α的值；
（2）求$\frac{sin（α+β）-2sinαcosβ}{2sinαsinβ+cos（α+β）}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知第一个等式利用两角和与差的正切函数公式化简求出tanα的值，原式利用二倍角的正切函数公式化简后，代入计算即可求出值；
（2）原式利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，将已知等式代入计算即可求出值．

解答 解：（1）∵tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=2，
∴tanα=$\frac{1}{3}$，
则tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{3}{4}$；
（2）∵tanα=$\frac{1}{3}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，
∴原式=$\frac{sinαcosβ+cosαsinβ-2sinαcosβ}{2sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{cosαsinβ-sinαcosβ}{sinαsinβ+cosαcosβ}$=$\frac{tanβ-tanα}{tanαtanβ+1}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{1}{7}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．