Question

17．设函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（1）判断函数y=f（x）-ag（x）极值点的个数；
（2）求证：当 x∈（0，1）时，g（x）＞$\frac{2}{2-{x}^{3}}$．

Answer 1

分析 （1）构造辅助函数h（x）=lnx-ae^x，求导，当a≤0和a＞0，h′（x）的符号，根据极值的定义即可判断y=f（x）-ag（x）极值点的个数；
（2）由题意可知，将不等式转化成2e^x-e^xx³＞2构造辅助函数，求导，由x∈（0，1）时-e^x＜0，x+1＞0；根据二次函数性质，判断函数k（x）的单调区间，求得函数的最大值，即可证明2e^x-e^xx³＞2，可得g（x）＞$\frac{2}{2-{x}^{3}}$．

解答 解：（1）令h（x）=lnx-ae^x，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^x，
当a≤0时，h′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^x＞0，此时函数无极值点．…（2分）
当a＞0时，令，h′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^x=0，则$\frac{1}{x}$=ae^x，
显然?x₀＞0，使得$\frac{1}{{x}_{0}}$=$a{e}^{{x}_{0}}$，
当0＜x＜x₀时，$\frac{1}{x}$＞ae^x，即h′（x）＞0，
当x＞x₀时，$\frac{1}{x}$＜ae^x，即h′（x）＜0，
此时函数有唯一极大值点，无极小值点．…（5分）
（2）证明：要证g（x）＞$\frac{2}{2-{x}^{3}}$，即证2e^x-e^xx³＞2；…（6分）
令k（x）=2e^x-e^xx³，
∴k′（x）=e^x（-x³-3x²+2）=-e^x（x³+3x²-2）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），…（7分）
故当x∈（0，1）时-e^x＜0，x+1＞0；
令P（x）=x²+2x-2=0．则x=±$\sqrt{3}$-1（负值舍去）
故当x∈（0，$\sqrt{3}$-1）时，P（x）=x²+2x-2＜0，故k′（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＞0，
即k（x）在（0，$\sqrt{3}$-1）上单调递增；…（9分）
当x∈（$\sqrt{3}$-1，1）时，P（x）=x²+2x-2＞0，
故k′（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＜0，
即k（x）在（$\sqrt{3}$-1，1）上单调递减；
∵k（0）=2，k（1）=e，
故当x∈（0，1）时，k（x）＞k（0）=2 即2e^x-e^xx³＞2，
故结论成立…（12分）

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值及不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题．