Question

4．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+a）x．
（1）当a＞1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在x=1处取得最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）求导数可得f′（x）=$\frac{（x-a）（x-1）}{x}$（x＞0），
a＞1时，令f′（x）＜0，可得1＜x＜a，∵x＞0，∴1＜x＜a；
令f′（x）＞0，可得x＞a或x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1或x＞a；
∴函数f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减，
∴f（x）_极大值=f（1）=-$\frac{1}{2}$-a，f（x）_极小值=f（a）=alna-$\frac{1}{2}$a²-a；
（2）①a≤0时，令f′（x）＜0，可得x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＞0，可得x＞1，∵x＞0，∴x＞1，
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
∴函数在x=1处取得最小值，
∵函数f（x）≥0对定义域内的任意的x恒成立，
∴f（1）=-$\frac{1}{2}$-a≥0，解得：a≤-$\frac{1}{2}$．
②a≥0时，f（1）=-$\frac{1}{2}$-a＜0，舍去；
综上，a≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．